Статьи

Метод частиц представляет собой численный метод моделирования больших систем на основе их лагранжева описания.

Разрывный метод частиц относится к типу “частица–частица” и состоит из двух основных этапов: предиктор и корректор. На этапе предиктора происходит сдвиг частиц. На этапе корректора среди соседей частицы выбирается партнер для взаимодействия, наиболее влияющий на локальную динамику системы. “Разрывность” метода заключается в способе коррекции плотности лишь одной из взаимодействующих частиц, благодаря чему восстановление плотности распределения происходит в минимальной области, определяемой только двумя выбранными частицами, что приводит к “размазыванию” фронта лишь на одну частицу.

Новизна представленного в этой статье варианта метода состоит в том, что на первый план ставится плотность частиц, а не их форма. Критерием перестройки служит сохранение проекции массы на плоскость, проходящей через центры масс взаимодействующих частиц. Сосед для коррекции плотности выбирается с помощью “прицельного параметра”. Построение плотности происходит по двум выбранным взаимодействующим частицам, что позволяет свести двумерную задачу к одномерной.

Существенным преимуществом данного алгоритма является отсутствие лимитеров.

Эффективность метода представлена на примере теста Кроули. Несмотря на линейность задачи, траектории частиц являются сложными: соседи частицы постоянно меняются. Показано, что метод Рунге–Кутты на этапе предиктора существенно повышает точность численного решения.

Наш лагранжев подход к построению метода частиц контрастирует с часто используемым другим представителем метода типа “частица–частица” — методом сглаженных частиц (SPH).

Обратная задача Штурма–Лиувилля состоит в определении коэффициента (потенциала) в стационарном уравнении Шрёдингера на отрезке по совокупности собственных значений (с.з.). В работе рассматривается численное решение обратной задачи по конечному набору первых с.з. двух задач Штурма–Лиувилля. Остальные с.з. задаются по классической асимптотике.

Метод решения обратной спектральной задачи основан на взаимно-однозначном соответствии обратной спектральной задачи и нестационарной обратной задачи для телеграфного уравнения с переменным коэффициентом (потенциалом). Редукция к нестационарной задаче осуществлена аналитически с помощью обращения преобразования Лапласа по формуле Меллина. Получена явная формула для функции реакции в обратной задаче рассеяния.

Обратная задача рассеяния для телеграфного уравнения заключается в определении неизвестного коэффициента по функции реакции. Эта задача решена численно методом обращения разностной схемы. В работе представлены результаты решения серии обратных задач Штурма–Лиувилля. В заключении отмечено, что количество заданных с.з. соответствует количеству гармоник в разложении искомого потенциала.

Рассматривается обратная коэффициентная задача для модели динамики сорбции. Обратная задача сводится к нелинейному операторному уравнению для неизвестного коэффициента. Доказывается дифференцируемость нелинейного оператора. Строятся метод Ньютона–Канторовича и модифицированный метод Ньютона–Канторовича для численного решения обратной задачи. Приводятся результаты численных расчетов.

При описании группового поведения высокочастотных трейдеров возникает краевая задача на основе концепции игр среднего поля. Система состоит из двух связных уравнений в частных производных: Гамильтона–Якоби–Беллмана, описывающего эволюцию функции среднего выигрыша в обратном времени, и Колмогорова–Фоккера–Планка, описывающего эволюцию плотности распределения трейдеров в прямом времени. Системе свойственна плохая обусловленность из-за магистрального эффекта. При некоторых предположениях удается произвести редукцию к системе уравнений Риккати, однако остается открытым вопрос корректности редуцированной задачи. В данной работе этот вопрос исследуется, а именно, условия существования и единственности решения краевой задачи в зависимости от параметров модели.

Для многих статистических процедур существенным является предположение, что исходные данные имеют нормальное распределение. Однако, если это предположение недостаточно обосновано, использование этих процедур может привести к ложным выводам. По этой причине проблеме проверки нормальности уделено большое внимание в литературе. В данной работе рассматривается проверка нормальности в случае, когда данные состоят из ряда небольших независимых выборок, в каждой из которых наблюдения независимы и одинаково распределены, но от выборки к выборке имеют разные параметры сдвига и масштаба. В таких случаях необходимо использовать статистики, не зависящие от параметров. Естественный путь исключить параметр сдвига — заменить наблюдения в каждой малой выборке их разностями. В работе получены оценки устойчивости таких разложений и проводится сравнение мощности нескольких критериев нормальности по преобразованным данным.

В настоящей работе представлен новый алгоритм вычисления сингулярного (граничного) типа ленточной поверхности обобщенного псевдоаносовского гомеоморфизма по ее комбинаторному описанию посредством так называемой конфигурации. Попутно вычисляются определяющие соотношения фундаментальной группы ленточной поверхности для ее копредставления, ассоциированного с данным разбиением на ленты. По сравнению с известным ранее, этот алгоритм не требует задания вспомогательных множеств и применения рекуррентных функций.

В работе решается задача конструктивного построения вложений полных корневых двоичных и троичных деревьев с k, k = 1, 2, . . . , ярусами в прямоугольные решетки (ПР), имеющие минимальную длину и близкую к минимальной высоту. При этом предполагается, что различные вершины дерева переходят в различные (основные) вершины ПР, причем листья дерева переходят в вершины ПР, расположенные на ее горизонтальных сторонах. Предполагается также, что ребра дерева переходят в простые (транзитные) цепи ПР, соединяющие образы их концевых вершин и не проходящие через другие основные вершины, причем через одно и то же ребро (одну и ту же вершину) ПР проходит не более 1 (соответственно 2) транзитных цепей.

В статье исследуется задача быстродействия с фазовым ограничением. Поведение объекта описывается системой линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Матрица коэффициентов при фазовых переменных имеет различные положительные собственные значения. Фазовое ограничение является линейным. Допустимым управлением является кусочно-непрерывная функция, принимающая значения из заданного компакта. Построены множества управляемости в начало отсчета для интервалов времени различной длины. Проведено исследование зависимости решения поставленной задачи от параметра, определяющего фазовое ограничение.

В работе проводится анализ ограничений на максимальное количество смен состояния энергоблока в задаче выбора состава оборудования, используемой при управлении энергосистемой. Указанная задача сводится к задаче смешанно-целочисленного программирования, трудоемкость решения которой сильно зависит от размерности. В соответствии с регламентами энергорынка РФ ограничение на количество смен состояния подается участником в уведомлении и действует в отношении любого семидневного периода времени. В работе, однако, показано, что указанное ограничение достаточно выставить лишь для некоторых периодов, определяемых моментами времени изменения состояния энергоблока в течение семидневной предыстории горизонта планирования. Таким образом, значительная часть этих ограничений является избыточными, и может быть удалена из модели без нарушения исходного допустимого множества, что повышает эффективность применяемых методов решения.