Богомолов С.В.

Метод частиц представляет собой численный метод моделирования больших систем на основе их лагранжева описания.

Разрывный метод частиц относится к типу “частица–частица” и состоит из двух основных этапов: предиктор и корректор. На этапе предиктора происходит сдвиг частиц. На этапе корректора среди соседей частицы выбирается партнер для взаимодействия, наиболее влияющий на локальную динамику системы. “Разрывность” метода заключается в способе коррекции плотности лишь одной из взаимодействующих частиц, благодаря чему восстановление плотности распределения происходит в минимальной области, определяемой только двумя выбранными частицами, что приводит к “размазыванию” фронта лишь на одну частицу.

Новизна представленного в этой статье варианта метода состоит в том, что на первый план ставится плотность частиц, а не их форма. Критерием перестройки служит сохранение проекции массы на плоскость, проходящей через центры масс взаимодействующих частиц. Сосед для коррекции плотности выбирается с помощью “прицельного параметра”. Построение плотности происходит по двум выбранным взаимодействующим частицам, что позволяет свести двумерную задачу к одномерной.

Существенным преимуществом данного алгоритма является отсутствие лимитеров.

Эффективность метода представлена на примере теста Кроули. Несмотря на линейность задачи, траектории частиц являются сложными: соседи частицы постоянно меняются. Показано, что метод Рунге–Кутты на этапе предиктора существенно повышает точность численного решения.

Наш лагранжев подход к построению метода частиц контрастирует с часто используемым другим представителем метода типа “частица–частица” — методом сглаженных частиц (SPH).

В настоящей работе демонстрируется процесс вывода макроскопических уравнений газовой динамики из стохастической микроскопической модели, описывающей поведение газа из твердых сфер. При уменьшении числа Кнудсена получаемые уравнения приобретают форму, аналогичную квазигазодинамическим (КГД) уравнениям с регуляризирующими компонентами, отличающимися от классической системы Навье–Стокса.

Рассматривается классический пример простой дискретной задачи о движении газа, состоящего из абсолютно упругих сфер. Этот пример иллюстрирует ключевые этапы построения математических моделей для больших систем с применением стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) и их компьютерной реализации.

Людвиг Больцман выводил свое фундаментальное уравнение, основываясь на балансе функции распределения, описывающей газ как сплошную среду в фазовом пространстве координат и скоростей, т.е. используя эйлеров подход. Мы же рассматриваем газ как множество отдельных частиц, динамика которых описывается системой СДУ, что означает формализм Лагранжа.

Предлагаемая модель является самодостаточной, не требует задания дополнительных уравнений состояния или настраиваемых параметров.