Стохастический лагранжев подход к уравнениям газовой динамики

Аннотация

В настоящей работе демонстрируется процесс вывода макроскопических уравнений газовой динамики из стохастической микроскопической модели, описывающей поведение газа из твердых сфер. При уменьшении числа Кнудсена получаемые уравнения приобретают форму, аналогичную квазигазодинамическим (КГД) уравнениям с регуляризирующими компонентами, отличающимися от классической системы Навье–Стокса.

Рассматривается классический пример простой дискретной задачи о движении газа, состоящего из абсолютно упругих сфер. Этот пример иллюстрирует ключевые этапы построения математических моделей для больших систем с применением стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) и их компьютерной реализации.

Людвиг Больцман выводил свое фундаментальное уравнение, основываясь на балансе функции распределения, описывающей газ как сплошную среду в фазовом пространстве координат и скоростей, т.е. используя эйлеров подход. Мы же рассматриваем газ как множество отдельных частиц, динамика которых описывается системой СДУ, что означает формализм Лагранжа.

Предлагаемая модель является самодостаточной, не требует задания дополнительных уравнений состояния или настраиваемых параметров.

Литература

1. Boltzmann L. Weitere Studien ueber dasWaerme gleichgenicht unfer Gasmolaekuler // Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften. 1872. 66. P. 275–370.
2. Скороход А.В. Стохастические уравнения для сложных систем. М.: Наука, 1983. (Skorokhod A.V. Stochastic Equations for Complex Systems. Dordrecht: Kluwer, 1988.)
3. Арсеньев А.А. О приближении решения уравнения Больцмана решениями стохастических дифференциальных уравнений Ито // ЖВМиМФ. 1987. 27. № 3. C. 400–410. (Arsen'yev A.A. On the approximation of the solution of the Boltzmann equation by solutions of the Ito stochastic differential equations // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1987. 27. N 2. P. 400–410.)
4. Samarskii A.A., Mikhailov A.P. Principles of Mathematical Modelling: Ideas, Methods, Examples. London; N.Y.: Taylor and Francis, 2002.
5. Четверушкин Б.Н. Пределы детализации и формулировка моделей уравнений сплошных сред // Математическое моделирование. 2012. 24. № 11. С. 33–52. (Chetverushkin B.N. Resolution limits of continuous media mode and their mathematical formulations // Mathematical Models and Computer Simulations. 2013. 5. N 3. P. 266–279.)
6. Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2007. (Elizarova T.G. Quasi-Gas Dynamic Equations. Springer, 2009.)
7. Богомолов С.В., Есикова Н.Б., Кувшинников А.Е. Микро-макромодели Фоккера–Планка–Колмогорова для газа из твердых сфер // Математическое моделирование. 2016. 28. № 2. C. 65–85. (Bogomolov S.V., Esikova N.B., Kuvshinnikov A.E. Micro-macro Fokker–Planck–Kolmogrov models for a hard sphere gas // Mathematical Models and Computer Simulations. 2016. 8. N 5. P. 533–547.)
8. Богомолов С.В., Захарова Т.В. Уравнение Больцмана без гипотезы молекулярного хаоса // Математическое моделирование. 2021. 33. № 1. C. 3–24. (Bogomolov S.V., Zakharova T.V. Boltzmann equation without the molecular chaos hypothesis // Mathematical Models and Computer Simulations. 2021. 13. N 5. P. 743–755.)
9. Bogomolov S.V., Kuvshinnikov A.E. Discontinuous Particle Method on Gas Dynamic Examples // Mathematical Models and Computer Simulations. 2019. 11. N 5. P. 768–777.
10. Bogomolov S.V., Filippova M.A., Kuvshinnikov A.E. A discontinuous particle method for the inviscid Burgers equation // J. Physics: Conference Series. 2019. 11. N 5. P. 768–777.
11. Hockney R.W., Eastwood J.W. Particle-Particle-Particle-Mesh, Algorithms. Computer simulation using particles. CRC Press, 1988. P. 267–304.
12. Chen J.K., Beraun J.E. A generalized smoothed particle hydrodynamics method for nonlinear dynamic problems // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2000. 190. P. 225–239.
13. Onate E., Idelsohn S.R., del Pin F., Aubry R. The particle finite element method — an overview // Int. J. Comp. Methods 2004. 1. P. 267–307.
14. Vaucorbeil A., Nguyen V.P., Sinaie S., Wu J.Y. Material point method after 25 years: theory, implementation and applications, 2019.
15. Gorji M.H., Jenny P. Fokker–Planck and DSMC algorithm for simulations of rarefied gas flows // J. Comp. Phys. 2015. 287. P. 110–129.
16. Liang J., Xu Z., Zhou Q. Random batch sum-of-Gaussians method for molecular dynamics simulations of particle systems // SIAM J. Sci. Comput. 2023. 45. N 5. P. 591–617.
17. Богомолов С.В., Гудич И.Г. К верификации стохастической диффузионной модели газа // Математическое моделирование. 2013. 25. № 11. C. 17–35. (Bogomolov S.V., Gudich I.G. Verification of a stochastic diffusion gas model // Mathematical Models and Computer Simulations. 2014. 6. N 3. P. 305–316.)
18. Fei F., Liu H., Liu Z., Zhang J. A benchmark study of kinetic models for shock waves // AIAA J. 2020. 58. N 6. P. 2596–2608.
19. Jagharghi V.R., Mahdavi A., Roohi E. Shear-driven micro/nano flows simulation using Fokker–Planck approach: Investigating accuracy and efficiency // Vacuum. 2020. 172. P. 109065.
20. Sadr M., Hadjiconstantinou N.G., Gorji M.H. Wasserstein-penalized Entropy closure: A use case for stochastic particle methods // J. Comp. Phys. 2024. 511. P. 113066.
21. Gupta V.K., Torrilhon M. Comparison of relaxation phenomena in binary gas-mixtures of Maxwell molecules and hard spheres // Computers and Mathematics with Applications. 2015. 70. N 1. P. 73–88.
22. Mies F., Sadr M., Torrilhon M. An efficient jump-diffusion approximation of the Boltzmann equation // J. Comp. Phys. 2023. 490. N 12. P. 112308.
23. Huang Y., Wang L. A score-based particle method for homogeneous Landau equation // J. Comp. Phys. 2025. 536. P. 114053.
24. Bodineau T., Gallagher I., Saint-Raymond L., Simonella S. Long-time correlations for a hardsphere gas at equilibrium // Communications on Pure and Applied Mathematics. 2023. 76. N 12. P. 3852–3911.
25. Cercignani C. Rarefied Gas Dynamics: From Basic Concepts to Actual Calculations. Cambridge University Press, 2000.
26. Dadzie S.K., Reese J.M. Spatial stochasticity and non-continuum effects in gas flows // Physics Letters A. 2012. 376. P. 967–972.
27. Reddy M.H.L., Dadzie S.K., Ocone R., Borg M.K., Reese J.M. Recasting Navier–Stokes equations // J. Phys. Commun. 2019. 3. P. 105009.
28. Богомолов С.В., Есикова Н.Б. Стохастическая магнитогидродинамическая иерархия в сильном внешнем магнитном поле // Математическое моделирование. 2019. 31. № 8. C. 120–142. (Bogomolov S.V., Esikova N.B. Stochastic magnetic hydrodynamic hierarchy in a strong external magnetic field // Mathematical Models and Computer Simulations. 2020. 12. N 2. P. 257–270.)