ISSN: 0137-0782
Поступила: 31.03.2025
Принята к публикации: 04.05.2025
Ключевые слова: уравнение Шрёдингера, телеграфное уравнение, функция реакции, обратная задача рассеяния, метод обращения разностных схем
DOI: 10.55959/MSU/0137–0782–15–2025–49–3–3–10
Баев А.В., Мозговых В.В. Об одном методе решения обратной задачи Штурма–Лиувилля // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2025. № 3. С. 3-10 https://doi.org/10.55959/MSU/0137–0782–15–2025–49–3–3–10.
Обратная задача Штурма–Лиувилля состоит в определении коэффициента (потенциала) в стационарном уравнении Шрёдингера на отрезке по совокупности собственных значений (с.з.). В работе рассматривается численное решение обратной задачи по конечному набору первых с.з. двух задач Штурма–Лиувилля. Остальные с.з. задаются по классической асимптотике.
Метод решения обратной спектральной задачи основан на взаимно-однозначном соответствии обратной спектральной задачи и нестационарной обратной задачи для телеграфного уравнения с переменным коэффициентом (потенциалом). Редукция к нестационарной задаче осуществлена аналитически с помощью обращения преобразования Лапласа по формуле Меллина. Получена явная формула для функции реакции в обратной задаче рассеяния.
Обратная задача рассеяния для телеграфного уравнения заключается в определении неизвестного коэффициента по функции реакции. Эта задача решена численно методом обращения разностной схемы. В работе представлены результаты решения серии обратных задач Штурма–Лиувилля. В заключении отмечено, что количество заданных с.з. соответствует количеству гармоник в разложении искомого потенциала.
B o r g G. Eine Umkehrung der Sturm–Liouvillschen Eigenwertaufgabe // Acta Mathematica. 1946. P. 1–96.
L e v i n s o n N. The inverse Sturm–Liouville problem // Math. Tidssk. Ser. B. 1949. P. 25–30.
М а р ч е н к о В. А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Московского математического общества. 1952. 1. Вып. 1. С. 327–420.
Г е л ь ф а н д И. М., Л е в и т а н Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1951. 15. Вып. 4. С. 309–360.
К р е й н М. Г. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля // ДАН СССР. 1951. 76. Вып. 1. С. 21–24.
Ю р к о В. А. Об устойчивости восстановления операторов Штурма–Лиувилля // Дифференциальные уравнения и теория функций. Т. 3. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1980. С. 113–124.
Д е н и с о в А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.
Р о м а н о в В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.
Б а е в А. В. О решении одной обратной задачи для волнового уравнения с помощью регуляризующего алгоритма // ЖВМиМФ. 1985. 25. Вып. 1. С. 140–146.
L e d o u x V., Va n D a e l e M. Matslise 2.0: a Matlab toolbox for Sturm–Liouville computations // Association for Computing Machinery. 2016. 42. N 4. P. 1–18.
