О способе построения решетчатых упаковок равных шаров, соответствующих плотности упаковок серии “Lambda”

Аннотация

Создание криптографических систем, основанных на теории решеток является перспективным направлением в области постквантовой криптографии. Целью настоящей работы является получение новых свойств решеток через связанные с ними объекты — плотные упаковки равных шаров.
В статье предлагается способ построения решетчатых упаковок равных шаров, соответствующих плотности упаковок серии “Lambda” в размерностях 1–24, с применением серии коэффициентов к высоте фундаментального параллелепипеда размерности (n−1): 1/2, 1/3, 1/2, 0, 1/2, 1/3, 1/2, √−1, 1/2, 1/3, 1/2, 0, 1/2, 1/3, 1/2, √−1, 1/2, 1/3, 1/2, 0, 1/2, 1/3, 1/2. Выполнено построение
решетчатых упаковок равных шаров с применением данного способа до размерности 11 включительно.

Литература

1. M i c c i a n c i o D., R e g e v O. Lattice-based cryptography // Post-Quantum Cryptography / Eds. Bernstein D. J., Buchmann J., Dahmen E. Berlin; Heidelberg: Springer, 2009.

2. A j t a i M. Generating hard instances of lattice problems // Electronic Colloquium on Computational Complexity, TR96-007, 1996.

3. К о н в э й Д., С л о э н Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Пер. с англ. Т. 1. М.: Мир, 1990.

4. А н д р е е в Н. Н., Юд и н В. А. Арифметический минимум квадратичной формы и сферические коды // Матем. просв. Сер. 3. Вып. 2. М.: МЦНМО, 1998. C. 133–140.

5. V i a z o v s k a M. S. The sphere packing problem in dimension 8 // Ann. Math. 2017. 185. N 3. P. 991–1015.

6. Л я л и н М. А. Симметрическо-групповая закономерность в распределении значений минимумов положительных квадратичных форм, приведенных по Коркину–Золотарёву // International Journal of Open Information Technologies. 2024. 12. № 6. C. 27–32.

7. Б а с а л о в Ю.А. О критических решетках единичного шара // Чебышевский сборник. 2022. 23. № 5(86). С. 20–37.

8. N g u y e n P. Q. Hermite’s constant and lattice algorithms // The LLL Algorithm. Information Security and Cryptography / Eds. Nguyen P., Vall’ee B. Berlin; Heidelberg: Springer, 2009.

9. M a c h l e r L., N a c c a c h e D. A conjecture on Hermite constants // Cryptology ePrint Archive. Paper 2022/677. 2022.

10. R y s h k o v S. S., B a r a n o v s k i i E.P. Classical methods in the theory of lattice packings // Russian Math. Surveys. 1979. 34. N 4. P. 1–68.

11. З о л о т а р ё в Е. И. Полное собрание сочинений. Вып. 1. М.: Изд-во АН, 1931.

12. H e r m i t e Ch. Lettres de m. Hermite a m. Jacobie sur differemts objets de la theorie des Nombres // J. Reine und Angew. Math. 40. 1850. P. 261–315.

13. G a b r i e l e N., S l o a n e N. J. A. Table of Densest Packings Presently Known. URL: https://www.math.rwth-aachen.de/∼Gabriele.Nebe/LATTICES/density.html

14. G a b r i e l e N., S l o a n e N. J. A. An entry from the Catalogue of Lattices. URL: https://www.math.rwth-aachen.de/∼Gabriele.Nebe/LATTICES/LAMBDA11.html