О среднем суммарном резерве страховой компании при случайном числе клиентов

Поступила: 01.12.2025

Принята к публикации: 10.12.2025

Ключевые слова: страховая математика, случайное число клиентов, асимптотический дефект, распределение Делапорта, обобщенное пуассоновское распределение, усеченные распределения, страховые резервы

DOI: 10.55959/MSU/0137–0782–15–2026–50–2–11–22

Доступно в on-line версии с: 24.07.2026

Для цитирования статьи

Арифуллин А.И., Бенинг В.Е. О среднем суммарном резерве страховой компании при случайном числе клиентов // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2026. № 2. С. 11-22 https://doi.org/10.55959/MSU/0137–0782–15–2026–50–2–11–22.

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция-Некоммерчески») 4.0 Всемирная

Арифуллин А.И. (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова (МГУ))
Бенинг В.Е. (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова (МГУ))

Аннотация

В статье исследуется асимптотическое поведение среднего суммарного резерва страховой компании при случайном числе клиентов. Используются результаты работ об асимптотическом дефекте и относительной эффективности процедур, основанных на выборках фиксированного и случайного объема. Рассматриваются нуль-усеченные распределения Делапорта и обобщенного пуассоновского распределения как моделей случайного числа клиентов. Получены разложения обратных моментов для этих распределений и вычислены коэффициенты асимптотических формул. Показано, что асимптотический дефект схемы со случайным числом клиентов выражается через параметры распределения и в частных случаях равен 1 и (1−θ)⁻². Выполнена эмпирическая иллюстрация на данных Национальной программы страхования от наводнений США.

Литература

Г н е д е н к о Б. В. Об оценке неизвестных параметров распределения при случайном числе независимых наблюдений // Труды Тбилисского математического института. 1989. 92. С. 146–150.
Г н е д е н к о Б. В., Ф а х и м Х. Об одной теореме переноса // ДАН СССР. 1969. 187. С. 15–17.
Б е н и н г В. Е., К о р о л е в В.Ю. Об использовании распределения Стьюдента в задачах теории вероятностей и математической статистики // Теория вероятностей и ее применения. 2004. 49. № 3. С. 417–435.
B e n i n g V. E., K o r o l e v V.Yu. Generalized Poisson Models and Their Applications in Insurance and Finance. Utrecht: VSP, 2002.
Б е н и н г В. Е., К о р о л е в В.Ю. Некоторые статистические задачи, связанные с распределением Лапласа // Информатика и ее применения. 2008. 2. № 2. С. 19–34.
B e n i n g V. E. Transfer theorems concerning asymptotic expansions for the distribution functions of statistics based on samples with random sizes // Advanced Studies in Contemporary Mathematics. 2018. 28. N 2. P. 187–200.
B e n i n g V. E. On the asymptotic deficiency of some statistical estimators based on samples with random sizes // Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society. 2018. 21. N 2. P. 185–193.
Б е н и н г В. Е. Об асимптотическом поведении квантилей распределений статистик, основанных на выборках случайного объема // Вестн. Тверского гос. ун-та. Серия: Прикладная математика. 2017. № 3. С. 5–12.
Б е н и н г В. Е. О поведении асимптотического дефекта квантилей распределений статистик, основанных на выборках случайного объема // Вестн. Тверского гос. ун-та. Серия: Прикладная математика. 2018. № 3. С. 42–57.
Б е н и н г В. Е. Об асимптотическом поведении резерва страховой компании // Вестн. Тверского гос. ун-та. Серия: Прикладная математика. 2020. № 2. С. 35–47.
Б е н и н г В. Е. О сравнении необходимых резервов организаций, подверженных риску, с помощью понятия дефект // Вестн. Тверского гос. ун-та. Серия: Прикладная математика. 2022. № 3. С. 5–26.
Б е н и н г В. Е. Об асимптотическом поведении среднего суммарного резерва страховой компании в случае случайного числа клиентов // Вестн. Тверского гос. ун-та. 2025. № 2. С. 5–21.
L e C a m L. Asymptotic Methods in Statistical Decision Theory. Springer, 1986.
S e r f l i n g R. J. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. Wiley, 1980.
L e h m a n n E. L., C a s e l l a G. Theory of Point Estimation. Berlin: Springer, 1998.
H o d g e s J. L., L e h m a n n E. L. Deficiency // Ann. Math. Statist. 1970. 41. N 5. P. 783–801.
B e n i n g V. E. Asymptotic Theory of Testing Statistical Hypotheses: Efficient Statistics, Optimality, Power Loss, and Deficiency. Berlin: Walter de Gruyter, 2011.
Z n i d a r i c M. Asymptotic expansion for inverse moments of binomial and Poisson distributions // arXiv:math/0511226v1 [math.ST], 2005.
C h u n g K. L. The strong law of large numbers // Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. 1951. 2. P. 341–352.
D e l a p o r t e P. J. Quelques problиmes de statistique mathйmatique posйs par l’assurance automobile et le bonus pour non sinistre // Assurances. Vol. 5. N 1. Montrйal: Йcole des Hautes Йtudes Commerciales, 1937.
Tz o u g a s G. J. Actuarial modelling of claim counts and losses in motor third party liability insurance. PhD Thesis. Athens University of Economics and Business, Department of Statistics. Athens, 2013.
C o n s u l P. C., J a i n G. C. A generalization of the Poisson distribution // Technometrics. 1973. 15. N 4. P. 791–799.
F a m o y e F. Restricted generalized Poisson regression model // Communications in Statistics — Theory and Methods. 1993. 22. N 5. P. 1335–1354.
Federal Emergency Management Agency (FEMA). NFIP Claims — OpenFEMA API. URL: https://www.fema.gov/api/open/v2/FimaNfipClaims
Federal Reserve Bank of St. Louis (FRED). Consumer Price Index for All Urban Consumers (CPI-U), series CPIAUCSL. URL: https://fred.stlouisfed.org/series/CPIAUCSL
M c C u l l a g h P., N e l d e r J. A. Generalized Linear Models. 2nd ed. Chapman & Hall/CRC, 1989.
D o b s o n A. J., B a r n e t t A. G. An Introduction to Generalized Linear Models. 4th ed. CRC Press, 2018.