Обсуждается, как получить из бинормальной матрицы нормальную и, наоборот, из нормальной матрицы бинормальную посредством умножения справа на подходящую унитарную матрицу. Пусть
N - нормальная матрица, плохо обусловленная по отношению к задаче обращения, т.е. имеющая большое число cond2N. Показано, что среди бинормальных матриц B, получаемых из N, есть матри-
ца с собственными значениями, индивидуальные числа обусловленности которых достигают уровня (cond2N)1/2.
Ключевые слова:
нормальная матрица, бинормальная матрица, унитарная матрица, число обусловленности
В теории преобразований подобия, составляющей главную часть науки о квадратных матрицах, рассматриваются многочисленные классы специальных матриц. Соответственно существует множество способов описания таких классов. Принадлежность матрицы требуемому классу в большинстве случаев может быть проверена рациональным вычислением, т.е. конечным алгоритмом, использующим только арифметические операции. Конгруэнтные преобразования занимают в теории матриц более скромное место, чем подобия. Однако и в этом разделе имеются многочисленные классы специальных матриц. На нескольких примерах в статье обсуждается возможность установить принадлежность матрицы нужному классу конгруэнтности посредством рационального вычисления.
Ключевые слова:
юнитоид, коквадрат, каноническая форма относительно конгруэнций, инволюция, теплицево разложение
Уравнением типа Янга-Бакстера называют матричное уравнение ХАХ = АХА. Мы рассматриваем это уравнение для матриц порядка 2 в предположении, что А — невырожденная матрица, и нас интересуют только невырожденные решения. С каждым из них по единому правилу можно связать матрицу, коммутирующую с A, иначе говоря, элемент из централизатора Ma этой матрицы. Нет никаких очевидных причин для того, чтобы разные решения X1 и Х2 порождали один и тот же элемент из Ma. И тем не менее все решения (которых бесконечно много) дают одну и ту же матрицу из централизатора. Мы даем объяснение этого удивительного факта.
Пусть A и B — матрицы порядка n, являющиеся прямыми суммами нильпотентных жордановых клеток. Показано, что если эти суммы различаются в наборе порядков клеток, а не только расположением клеток на главной диагонали, то A и B не могут быть конгруэнтны. Это по-новому доказывает единственность сингулярной части в канонической форме Сергейчука–Хорна вырожденной матрицы.
