Адаптивный шаг интегрирования для многокомпонентного уравнения Смолуховского

Аннотация

В работе рассматривается задача численного решения многокомпонентного уравнения коагуляции Смолуховского с использованием малорангового представления в формате тензорного поезда (TT). Предложен и протестирован подход адаптивного выбора шага интегрирования по времени на основе метода Рунге–Кутты 2-го порядка с контролем локальной погрешности. Проведены численные эксперименты для баллистического и обобщенного броуновского ядер в двумерном случае. Использование адаптивного шага позволяет существенно сократить время расчетов по сравнению с постоянным шагом при сохранении низкой относительной погрешности. Наиболее ярко возможности адаптивного выбора шага проявляются при численном решении задачи о поиске стационарного решения двухкомпонентного уравнения коагуляции с источником частиц. Результаты демонстрируют эффективность адаптивных методов для многокомпонентных задач коагуляции в комбинации с тензорными разложениями.

Литература

1. Алоян А.Е. Динамика и кинетика газовых примесей и аэрозолей в атмосфере. М.: ИВМ РАН, 2002.
2. Галкин В.А. Уравнение Смолуховского. М.: Физматлит, 2002.
3. Krapivsky P.L., Redner S., Ben-Naim E. A Kinetic View of Statistical Physics. Cambridge University Press, 2010.
4. Brilliantov N.V., Pöschel T. Kinetic Theory of Granular Gases. Oxford University Press, 2010.
5. Fernandez-Diaz J.M., Gomez-Garcia G.J. Exact solution of Smoluchowski's continuous multi-component equation with an additive kernel // Europhysics Letters. 2007. 78. N 5. Art. 56002.
6. Ferreira M.A. et al. Asymptotic localization in multicomponent mass conserving coagulation equations // Pure and Applied Analysis. 2024. 6. N 3. P. 731–764.
7. Chaudhury A., Oseledets I., Ramachandran R. A computationally efficient technique for the solution of multi-dimensional PBMs of granulation via tensor decomposition // Computers & Chemical Engineering. 2014. 61. P. 234–244.
8. Matveev S.A., Zheltkov D.A., Tyrtyshnikov E.E., Smirnov A.P. Tensor train versus Monte Carlo for the multicomponent Smoluchowski coagulation equation // J. Comp. Phys. 2016. 316. P. 164–179.
9. Matveev S., Tretyak I. Nonnegative tensor train for the multicomponent Smoluchowski equation // Comp. Appl. Math. 2025. 44. Art. 35.
10. Matveev S.A. et al. Oscillations in aggregation-shattering processes // Physical Review Letters. 2017. 119. N 26. Art. 260601.
11. Matveev S.A., Zhilin V.A., Smirnov A.P. Adaptive time-stepping for aggregation-shattering kinetics // Numerical Methods and Programming. 2024. 25. N 3. P. 347–356.
12. Oseledets I.V. Tensor-train decomposition // SIAM Journal on Scientific Computing. 2011. 33. N 5. P. 2295–2317.
13. Oseledets I.V., Tyrtyshnikov E.E. Breaking the curse of dimensionality, or how to use SVD in many dimensions // SIAM Journal on Scientific Computing. 2009. 31. N 5. P. 3744–3759.
14. Oseledets I.V., Tyrtyshnikov E.E. TT-cross approximation for multidimensional arrays // Linear Algebra and its Applications. 2010. 432. N 1. P. 70–88.
15. Rakhuba M., Oseledets I. Calculating vibrational spectra of molecules using tensor train decomposition // The J. Chemical Physics. 2016. 145. N 12. Art. 124101.
16. Manzini G. et al. Nonnegative tensor-train low-rank approximations of the Smoluchowski coagulation equation // Lecture Notes in Computer Science. Vol. 13127. Springer, 2021. P. 342–350.
17. Shcherbakova E.M., Tyrtyshnikov E.E. Fast nonnegative tensor factorizations with tensor train model // Lobachevskii J. Math. 2022. 43. N 4. P. 882–894.
18. Zhao H., Kruis F.E., Zheng C. A differentially weighted Monte Carlo method for two-component coagulation // J. Comput. Phys. 2010. 229. N 19. P. 6931–6945.