О пересчете эллипсоидов при оценке погрешности интерполяционного метода Штермера для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка

Аннотация

В настоящей работе рассматривается численное решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка, вычисляемое с помощью интерполяционного (неявного) многошагового метода Штермера. Гарантированная оценка погрешности находится с помощью эллипсоидов, которые содержат точное и численное решения. Использование эллипсоидов позволяет избежать эффекта раскрутки (wrapping effect), возникающего при использовании методов интервального анализа. Предлагается модернизировать способ получения более точной оценки малых слагаемых при пересчете эллипсоидов, предложенный ранее для решения линейных дифференциальных уравнений, на случай нелинейных уравнений. Получены формулы пересчета эллипсоидов для получения гарантированной оценки погрешности интерполяционного многошагового метода Штермера. Приведены результаты оценки погрешности при численном решении нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка на больших интервалах, демонстрирующие эффективность предложенного метода.

Литература

1. К а л м ы к о в С. А., Шо к и н Ю.И., Юл д а ш е в З. Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

2. M o o r e R. E., K e a r f o t t R. B., C l o u d M. J. Introduction to Interval Analysis. Philadelphia: SIAM, 2009.

3. L o h n e r R. J. Enclosing the solutions of ordinary initial and boundary value problems // Computer Arithmetic: Scientific Computation and Programming Languages. 1987. P. 255–286.

4. L o h n e r R. J. On the ubiquity of the wrapping effect in the computation of error bounds // Perspectives on Enclosure Methods. 2001. P. 201–216.

5. М о р о з о в А. Ю., Р е в и з н и к о в Д. Л. Модификация методов решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными параметрами // Труды МАИ. 2016. № 89. С. 1–20.

6. О в с е е в и ч А. И., Та р а б а н ь к о Ю.В., Ч е р н о у с ь к о Ф. Л. Сравнение интервальных и эллипсоидальных оценок погрешности векторных операций // Докл. АН. 2005. 400. № 6. С. 739–743.

7. В р а ж е в с к и й С. А., Ч у г и н а Ю.В., Ф у р т а т И. Б., К о н о в а л о в Д. Е. Развитие метода инвариантных эллипсоидов для проектирования разреженных регуляторов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2022. 23. № 1. С. 3–12.

8. Ши р я е в В. Д. О внутренних эллипсоидальных аппроксимациях множеств достижимости линейных систем при неопределенности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2012. № 3. С. 20–27.

9. To c h i l i n P. A., P a r s h i k o v M. V. On the use of ellipsoidal estimation techniques in the rrt* suboptimal pathfinding algorithm // Automation and Remote Control. 2024. 85. № 2. P. 132–146.

10. F i l i p p o v A. F. Ellipsoidal error estimates for Adams method // Interval Computations. 1992. 3(5). P. 75–79.

11. З о л о т а р е в а Н. Д. О новом способе получения гарантированной оценки ошибки метода Штермера с помощью эллипсоидов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2002. № 3. С. 3–9.

12. З о л о т а р е в а Н. Д., Ф и л и п п о в А. Ф. Оценка локальной и глобальной ошибок метода Штермера любого порядка для системы уравнений // ЖВМ и МФ. 2004. 44. № 1. С. 111–122.

13. З о л о т а р е в а Н. Д. Гарантированная оценка ошибки метода Штермера на интервалах большой длины // Дифференц. уравн. 2005. 41. № 7. С. 938–944.

14. З о л о т а р е в а Н. Д. О пересчете эллипсоидов при оценке погрешности неявного метода Штермера для линейного дифференциального уравнения второго порядка // Вестн. российских университетов. Математика. 2024. 29. № 148. С. 391–400.

15. А р у ш а н я н О. Б., З а л е т к и н С. Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на фортране. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

16. Ч е р н о у с ь к о Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

17. Р е ш е т н я к Ю.Н. Суммирование эллипсоидов в задаче гарантированного оценивания // Прикладная математика и механика. 1989. 53. № 2. С. 249–254.