Задача конечной аппроксимации равновесного множества для многокритериальных биматричных игр

Поступила: 18.06.2025

Принята к публикации: 12.07.2025

Ключевые слова: многокритериальные биматричные игры, равновесие Нэша–Шепли, линейная свертка, конечная аппроксимация по Хаусдорфу, игры 2×2×2, вырожденные биматричные игры

DOI: 10.55959/MSU/0137–0782–15–2025–49–4–53–67

Для цитирования статьи

Новикова Н.М., Поспелова И. И. Задача конечной аппроксимации равновесного множества для многокритериальных биматричных игр // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2025. № 4. С. 53-67 https://doi.org/10.55959/MSU/0137–0782–15–2025–49–4–53–67.

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция-Некоммерчески») 4.0 Всемирная

Новикова Н.М. (Федеральный исследовательский центр РАН)
Поспелова И. И. (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова (МГУ))

Аннотация

Рассмотрена задача аппроксимации по Хаусдорфу конечными множествами решения и значения многокритериальной биматричной игры в смешанных стратегиях с помощью представления, основанного на линейной свертке. Для случая матриц 2×2 найдены явные формулы для построения узлов δ-сети на произведении симплексов параметров свертки и доказана сходимость в метрике Хаусдорфа множества, объединяющего полученные для этой сети равновесные значения, к решению исходной игры при δ→0. Учтена возможность появления вырожденных биматричных игр при скаляризации. Приведены примеры для двухкритериальных игр 2×2×2.

Литература

S h a p l e y L. S. Equilibrium points in games with vector payoffs // Naval Research Logistics Quaterly. 1959. 6. N 1. P. 57–61.
N o v i k o v a N. M., P o s p e l o v a I. I. A game-theoretic approach to two-person negotiation under multiple criteria // Group Decision and Negotiation. 2024. 33. N 1. P. 195–216.
K i l g o u r D. M., E d e n C. Handbook of Group Decision and Negotiation. 2nd ed. Springer Nature Switzerland AG, 2021.
N o v i k o v a N. M., P o s p e l o v a I. I. 2023. Germeier’s Scalarization for Approximating Solution of Multicriteria Matrix Games. URL: https://doi.org/10.3390/math11010133
Г е р м е й е р Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.
С м и р н о в М. М. О логической свертке вектора критериев в задаче аппроксимации множества Парето // ЖВМ и МФ. 1996. 36. № 3. С. 62–74.
Z a p a t a A., M б r m o l A. M., M o n r o y L., C a r a b a l l o M. A. A maxmin approach for the equillibria of vector-valued games // Group Decision and Negotiation. 2019. 82. P. 415–432.
Z a p a t a A., M б r m o l A. M., M o n r o y L. Utilitarian and Rawlsian preferences in vector bimatrix games // Intern. J. of Multicriteria Decision Making. 2024. 10. N 1. P. 23–46.
Н о г и н В. Д. Линейная свертка в многокритериальной оптимизации // Искусственный интеллект и принятие решений. 2014. № 4. C. 73–82.
Vo o r n e v e l d M., Ve r m e u l e n D., B o r m P. Axiomatizations of Pareto equilibria in multicriteria games // Games Econ Behav. 1999. 28. N 1. P. 146–154.
N o v i k o v a N.M., P o s p e l o v a I.I. Approximating multicriteria matrix game solution with finite sets // Theory, Algorithms and Experiments in Applied Optimization in honor of Panos Pardalos 70^th Birthday / Ed. Boris Goldengorin. Springer, 2025.
Ш т о й е р Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения. М.: Радио и связь, 1992.
E h r g o t t M. Multicriteria Optimization. 2nd ed. Heidelberg: Springer, 2005.
P a r d a l o s P. M., Ž i l i n s k a s A., Ž i l i n s k a s J. Non-Convex Multi-Objective Optimization. Springer, 2018.
N o g h i n V. D. Reduction of the Pareto Set. An Axiomatic Approach. Cham: Springer, 2018.
П о д и н о в с к и й В. В. Многокритериальные задачи принятия решений: теория и методы анализа. Учебник для вузов. М.: Юрайт, 2022.
К р а с н о щ е к о в П. С., М о р о з о в В. В., П о п о в Н. М. Оптимизация в автоматизированном проектировании. М.: МАКС Пресс, 2008.
F e i n s t e i n Z. Continuity and sensitivity analysis of parameterized Nash games // Econ. Theory Bull. 2022. 10. P. 233–249.
Л о т о в А. В., П о с п е л о в а И. И. Многокритериальные задачи принятия решений. М.: МАКС Пресс, 2008.
N a s h J. F. Non cooperative games // Annals of Math. 1951. 54. N 2. P. 286–295.
R e t t i e v a A. N. Equilibria in dynamic multicriteria games // Int. Game Theory Rev. 2017. 1 (1). P. 1–21.
R e t t i e v a A. N. Solutions of dynamic multicriteria games: Classical and untraditional approaches // Autom. Remote Control. 2021. 82. P. 902–910.
П о д и н о в с к и й В. В. Идеи и методы теории важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. М.: Наука, 2019.
Н о в и к о в а Н. М., П о с п е л о в а И. И. Аппроксимация по Хаусдорфу решений двухкритериальный матричных игр // Международная конференция “Математика в созвездии наук”. К юбилею ректора МГУ академика Виктора Антоновича Садовничего. М.: Изд-во Московского ун-та, 2024. C. 590–592.
М у л е н Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985.
Ta n a k a T., H i g u c h i M. Classification of matrix types for multicriteria two-person zero-sum matrix games // IFAC Proceedings Volumes. 2000. 33 (16) P. 659–668.
П о с п е л о в а И. И., С а т С. О. О классификации двухкритериальных матричных игр 2×2 // Тезисы докладов научной конференции Тихоновские чтения. М.: МАКС Пресс, 2022. С. 84.