Аппроксимация множества достижимости нелинейной управляемой системы с дискретным временем

Аннотация

Данная статья посвящена разработке метода приближенного построения множества достижимости для нелинейной по фазовым переменным управляемой системы с дискретным временем. На управляющие параметры наложены жесткие геометрические ограничения. Для решения указанной задачи используется техника, ранее разработанная и примененная для случая с непрерывным временем и дифференциальными уравнениями. Необходимая оценка множества достижимости может быть получена как множество уровня специальной кусочно-заданной функции цены, построенной на сетке из симплексов в фазовом пространстве. В работе приведены формулы для вычисления коэффициентов такой функции, позволяющие проанализировать отличие случая с дискретным временем
от случая с непрерывным. Для модельного примера произведены вычисления кусочно-аффинных функций цены и соответствующих внутренних и внешних оценок множества достижимости.

Литература

1. Kurzhanskiy A.A., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for reachability analysis of discrete-time linear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. 2007. 52. N 1. P. 26–38.

2. Kurzhanskiy A.A., Varaiya P. Reach set computation and control synthesis for discrete-time dynamical systems with disturbances // Automatica. 2011. 47. P. 1414–1426.

3. Костоусова Е. К. О полиэдральном оценивании областей достижимости линейных многошаговых систем // Автоматика и телемеханика. 1997. № 3. С. 57–68. (Kostousova E. K. On polyhedral estimation of the attainability domains of linear multistep systems // Autom. Remote Control. 1997. 58. N 3. P. 374–382.)

4. Шориков А.Ф., Горанов А.Ю. Методика аппроксимации области достижимости нелинейной управляемой динамической системы // Прикладная математика и вопросы управления. 2017. № 2. С. 112–121.

5. Rakovic S.V., Kerrigan E.C., Mayne Q., Lygeros J. Reachability analysis of discrete-time systems with disturbances // IEEE Trans. on Automatic Control. 2006. 51. N 4. P. 546–561.

6. Meyer P.-J., Devonport A., Arcak M. Interval Reachability Analysis. Springer, 2021.

7. Точилин П.А. О построении невыпуклых аппроксимаций множеств достижимости кусочно-линейных систем // Дифференц. уравн. 2015. 51. № 11. С. 1503–1515. (To c h i l i n P. A. On the construction of nonconvex approximations to reach sets of piecewisse linear systems // Differential Equations. 2015. 51. N 11. P. 1499–1511.)

8. Точилин П.А. О построении кусочно-аффинной функции цены в задаче оптимального управления на бесконечном отрезке времени // Труды института математики и механики УрО РАН. 2020. 26. № 1. С. 223–238. (Tochilin P. A. On the construction of a piecewise affine value function in an infinite-horizon optimal control problem // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN. 2020. 26. N 1. P. 223–238.)

9. Точилин П.А., Чистяков И. А. О построении разрывного кусочно-аффинного синтеза в задаче целевого управления // Труды института математики и механики УрО РАН. 2021. 27. № 3. С. 194–210. (Tochilin P.A., Chistyakov I.A. On the construction of a discontinuous piecewise affine synthesis in a target control problem // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. 2021. 27. N 3. P. 194–210.)

10. Kurzhanskiy A.B., Varaiya P. Dynamics and Control of Trajectory Tubes. Birkhäuser, 2014.

11. Dang T., Maler O., Testylier R. Actual hybridization of nonlinear systems // Proc. of the 13^th ACM Int. Conf. on Hybrid Systems: Computation and Control (HSCC’10). Stockholm, 2010. P. 11–20.

12. Bertsekas D.P. Dynamic Programming and Optimal Control. Belmont: Athena Scientific, 1995.